Die Redewendung "Einen Zahn zulegen" wird in Fällen verwendet, wenn etwas schneller fertig werden muss. Wer nach der Herkunft fragt, wird zwei Antworten erhalten. Zum einen Mittelalter: Kesselsäge und zum Anderen: Zahnkranz des Autos.

KI wie ChatGBT, popularwissenschaftliche Literatur, Museumsführer und auch Wikipedia verorten die Herkunft ins Mittelalter und berufen sich auf die Kesselsäge.

Andere favorisieren die Herkunft des Zahnkranzes:
Ich gehöre zur Zahnkranzfraktion!

Warum?
Sprachlich:
Der aktuelle Band 11 des Duden schreibt wörtlich: "Diese Wendung bezog sich ursprünglich wahrscheinlich auf den Zahnkranz des Handgashebels im Auto, mit dem die Fahrgeschwindigkeit geregelt wurde.
einen Zahn zulegen (ugs.):
1. die Geschwindigkeit der Fortbewegung steigern: Wenn wir einen Zahn zulegen, sind wir rechtzeitig zur Fußballübertragung zu Hause.
2. die Arbeitsgeschwindigkeit steigern: Legt mal einen Zahn zu, Leute, wir wollen heute noch fertig werden!"
Weiter erscheint es weder im Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm noch im 1864 erschienenen "Die deutschen Sprichwörter im Mittelalter" von Ignaz Vinzenz Zingerle. Wäre ein vorindustrieller Bezug zur Kettensäge vorhanden, würde ich es hier erwarten. Selbst das Wort Kesselsäge kennt das mittelhochdeutsche Wörterbücher nicht und auch im Hausratsgedicht von Hans Volz aus dem 16. Jahrhundert, in dem eindeutige eine zu sehen ist, wird der Begriff nicht erwähnt. Dort heißt das Teil: Haken oder Handhabe.
Technisch: Kessel waren in der Regel Siedegefäße, um mit viel Flüssigkeit wallend zu kochen. (Auf Abbildungen sieht man auch die Köche am Kessel oft mit einem Fleischhaken oder Simmer in der Hand). Die Kessel, die heute in Museen ambientig an den Kesseln hängen, sind oft zu klein für die Kesselsäge an der sie hängen.

Um einen (Siede)Kessel auf die entsprechende Temperatur zu bekommen, braucht es Zeit. Ein Kochfeuer in einer Küche ist in der Regel 30 - 40 cm hoch bzw. wenn der Kessel sehr groß ist auch mal mehr, aber immer will der Koch das Feuer kontrollieren und nicht umgekehrt,  Die Kessel hängen zunächst tief - also auf höchster Stufe. Wird der Siedepunkt erreicht, nimmt man den Kessel vom Feuer weg. Der Kesselinhalt kocht noch weiter. Das Material hält die Hitze. Beim historischen Kochen ist schnell relativ, denn die Küchenausstattung ist eher träge, was den Temperaturwechsel betrifft. Beim Braten und auch unter dem Siedekessel ist es einfacher mit mehr oder weniger Flamme, die Temperatur zu regeln und konstant zu halten, als das dauernde hin und weg bzw. rauf und runter. Die Größe, das Gewicht und die Temperatur eines vollen und heißen Siedekessels machen die Handhabe zur Temperaturregelung auch unwahrscheinlich.
Ebenso aus Effiziensgrüngen: Beim Kochen ist die höchste Stufe zunächst der Normalzustand, um mit möglichst wenig Ressourcen das Kochgut gar zu bekommen. Es wird also nicht ein Zahn zugelegt, sondern im Besten Fall ein Zahn zurückgenommen und weniger Hitze zugeführt.
Die unterschiedlichen Einstellungen deuten meiner Meinung nach auf die Verwendung von verschieden großen Kesseln, die alle mit einer Handhabe optimal über dem Feuer hängen können.

Auch gibt es noch die Möglichkeit, dass es nur eine sprachlich methamophorische Ableitung ist.

Wären wir bei 1,2 oder 3 lautet die Frage:
Wo hat die Redewendung "Einen Zahn zulegen" ihren Ursprung?
1  DerZahnkranz des Autos
2  Die Kesselhandhabe des Mittelalters

3  Durch die Verwenung des Wortes Zahn in Verbindung mit Kerbe, Stufe oder Abstufung
1, 2 oder 3 - Du musst Dich entscheiden. Plopp, das heißt stopp.
Ob Ihr wirklich richtig steht? Seht Ihr wenn das Licht angeht!

Quellen:
G. Drosdowki (Bearbeitung), W. Scholze-Stubenrecht (Bearbeitung) Duden, Band 11: Redewendungen und sprichwörtliche Redensarten
Jacob Grimm und Wilhelm Grimm  - Deutsches Wörterbuch (über wörterbuchnetz.de)

Lexer - Mittelhochdeutsches Wörterbuch (über wörterbuchnetz.de)
Ignaz Vinzenz Zingerle - Die deutschen Sprichwörter im Mittelalter von 1864